Plan complexe Soit P le plan muni d'un repère

Plan complexe

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  Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le poin image de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé plan complexe. Sur la figure précédente, les affixes respectives de A, B et C sont : 1+2i, -1, 2-i.
Propriétés liées au module, à l'argument, à la conjugaison

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• Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z.
• Plus généralement, si A est d'affixe a, B d'affixe B, la longueur OA vaut |a-b|.
• Si M est d'affixe z, alors on a :
• Plus généralement, si A,B,C et D sont d'affixes respectives a,b,c et d, alors :
• Si M est le point d'affixe z, alors :
  • le point d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe (Ox).
  • le point d'affixe -z est le symétrique de M par rapport à l'origine.
  • le point d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe (Oy).

Configurations géométriques

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• Condition d'alignement : A(a), B(b) et C(c) sont alignés ssi est réel.
• Condition d'orthogonalité : les droites (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si est imaginaire pur.
• Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
• Triangle équilatéral : Les points A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral direct si, et seulement si : a+jb+j²c=0.
• Barycentre : Si G est le barycentre des points M_k d'affixe z_k, affectés des coefficients x_k, alors l'affixe de G est :

Similitudes directes

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Théorème et définition : Soient a et b deux nombres complexes, a non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe az+b. Alors :

• Si a=1, f est la translation dont le vecteur est le vecteur d'affixe b.
• Si a est différent de 1, f possède un unique point invariant I, d'affixe b/(b-a). f est alors la composée de la rotation r de centre I, et d'angle arg(a) et de l'homothétie de centre I et de rapport |a|.
  f s'appelle la similitude directe de centre I, de rapport |a|, et d'angle arg(a).

C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.