10 mars 2005

Racine carrée d'un nombre complexe


  Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On a deux méthodes pour résoudre z2=w :
  • Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup!
  • Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (cf infra).
Exemple :On souhaite résoudre z2=2+i. On pose z=x+iy. Nous avons :
où les constantes valent plus ou moins 1. La condition 2xy=1 nous permet d'affirmer que les solutions sont :

Equation du second degré
  Soit (E) l'équation az2+bz+c=0, d'inconnue z, où a,b,c sont des complexes, et a est non nul. Le discriminant de cette équation est :
  • Si le discriminant est nul, alors l'équation (E) admet une racine double : z=-b/2a.
  • Si le discriminant est non nul soit l'une des racines carrées (complexe) de ce discriminant. Alors (E) admet deux racines complexes :
Remarque : Ainsi, tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet une racine dans l'ensemble des nombres complexes. Plus généralement, le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine dans C.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
  Si w est un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe tel que zn=w.
Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes.
La méthode de recherche est la suivante :

  On appelle racine n-ième de l'unité les racines n-ièmes dans C du nombre complexe 1. Elles sont données par :
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est un groupe cyclique d'ordre n du groupe (C*,×). La racine wk engendre ce groupe si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.

Posté par achraf1879 à 15:59 - Commentaires [0] - Permalien [#]


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