10 mars 2005

Nombres complexes - Réponses

Exercice 1 - Réponse   RAPPEL On multiplie le numérateur et le dénominateur du nombre complexe par le nombre complexe conjugué du dénominateur, c'est-à-dire par                   Exercice 2 - Réponse     RAPPEL Le module du nombre complexe est L'argument du nombre complexe z est il est défini à près par les relations               ... [Lire la suite]
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10 mars 2005

voici les exrcices sur les complexes

Exercice 1     Ecrire sous la forme a+bi les nombres complexes suivants : Exercice 2     Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants : En déduire la forme exponentielle de ces nombres complexes Exercice 3     Trouver le module et l'argument du nombre complexe : Exercice 4     Résoudre dans l'équation En déduire les solutions dans de l'équation     Exercice 5   ... [Lire la suite]
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10 mars 2005

les nombres complexes

voici un cours sur les nombres complexes pour les ptites revisions du sup et du deug
Posté par achraf1879 à 16:15 - Commentaires [0] - Permalien [#]
10 mars 2005

Qu'est-ce qu'un nombre complexe??? Théorème : Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant : C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...). Il existe un élément i de C tel que i2=-1. Tout élément de C s'écrit de manière unique z=a+ib, avec a,b des réels. C s'appelle l'ensemble des nombres complexes. Vocabulaire : a s'appelle partie réelle de z, se note Re(z). b s'appelle partie... [Lire la suite]
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10 mars 2005

Module d'un complexe   On appelle module du nombre complexe z=a+ib le réel positif . Le module vérifie les propriétés suivantes : |z|×z'|=|z|×|z'|. |z+z'||z|+|z'| (inégalité triangulaire). |z|=0 si et seulement si z=0. Si z est réel, son module vaut sa valeur absolue. Argument d'un nombre complexe Théorème : Si z est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel tel que : z=|z|cos()+isin().De plus, est unique à 2pi près. Tout nombre qui convient s'appelle un argument de z, noté... [Lire la suite]
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10 mars 2005

Racine carrée d'un nombre complexe   Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On a deux méthodes pour résoudre z2=w : Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup! Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (cf infra). Exemple :On souhaite résoudre z2=2+i. On pose z=x+iy. Nous... [Lire la suite]
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10 mars 2005

Formule de Moivre   Pour tout réel et tout entier n, alors Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x). Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons : cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)3].Développons en appliquant la formule du binôme : (cos x+isin x)3=cos3x+3icos2x sin x -3xcos x sin2x-isin3x.Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin2x=1-cos2 x : cos(3x)=cos3 x-3cos x... [Lire la suite]
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10 mars 2005

Plan complexe   Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le poin image de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé plan complexe. Sur la figure précédente, les affixes respectives de A, B et C sont : 1+2i, -1, 2-i. Propriétés liées au module, à l'argument, à la conjugaison Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z. Plus généralement,... [Lire la suite]
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