Qu'est-ce qu'un nombre complexe??? Théorème : Il

Qu'est-ce qu'un nombre complexe???

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Théorème : Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant :

• C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...).
• Il existe un élément i de C tel que i²=-1.
• Tout élément de C s'écrit de manière unique z=a+ib, avec a,b des réels.

C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.

Vocabulaire :

• a s'appelle partie réelle de z, se note Re(z).
• b s'appelle partie imaginaire de z, se note Im(z).
• Si Re(z)=0, on dit que z est un imaginaire pur.
• si z=a+ib, le nombre complexe a-ib s'appelle le conjugué de z.
• z=a+ib s'appelle la forme cartésienne de z.

Opérations algébriques sur les nombres complexes

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  La multiplication et l'addition sur C prolongent celles de R et vérifient les mêmes propriétés. En particulier :

• (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')
• (a+ib)×(a'+ib')=(aa'-bb')+i(a'b+ab')

  Tout nombre complexe non nul possède un inverse. Si z=a+ib, on a : Il n'est en général pas question de retenir cette dernière formule, mais on la retrouve au "coup par coup" en utilisant le conjugué. Par exemple :   Le passage au conjugué est compatible avec les opérations précédentes. Ainsi :

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