les mathematiques

10 mars 2005

Nombres complexes - Réponses

Exercice 1 - Réponse
 

RAPPEL

On multiplie le numérateur et le dénominateur du nombre complexe

par le nombre complexe conjugué du dénominateur, c'est-à-dire par

 
     
 
 
     
Exercice 2 - Réponse
 
 

RAPPEL

Le module du nombre complexe est
L'argument du nombre complexe z est il est défini à près par les relations

 
     
     
     
Exercice 3 - Réponse
 
 


 
     
     
     
Exercice 4 - Réponse
 
 

on écrit l'égalité des parties réelles puis des parties imaginaires dans la relation (I)

On écrit ensuite l'égalité des modules dans la relation (I)

D'où les deux solutions

On forme le discriminant

On utilise l'une des deux solutions du début de l'exercice.

Les racines sont:

Ne pas oublier de vérifier la somme et le produit des racines

La factorisation est

 
 
 
     
     
Exercice 5 - Réponse
 
 

 
     
     
     
Exercice 6 - Réponse
 
 

 
 
 
     
     
Exercice 7 - Réponse
 
 

En utilisant fes formules d'Euler

 
 
 
     
     
Exercice 8 - Réponse
 
 


 
     
     
     
Exercice 9 - Réponse
 
 

RAPPEL

 
     
     
     
Exercice 10 - Réponse
 
 
 
     
     
     
Exercice 11 - Réponse
 
 


 
     
     
     
Exercice 12 - Réponse
 
 

RAPPEL

 
     
     
     
Exercice 13 - Réponse
 
 

 
     
     
     
Exercice 14 - Réponse
 
   
     
     
     
Exercice 15 - Réponse
 
   
     
     
     
Exercice 16 - Réponse
 
   
     
   
 

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voici les exrcices sur les complexes

Exercice 1
 
  Ecrire sous la forme a+bi les nombres complexes suivants :
Exercice 2
 
 
Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants :

En déduire la forme exponentielle de ces nombres complexes
Exercice 3
 
 

Trouver le module et l'argument du nombre complexe :

Exercice 4
 
 

Résoudre dans l'équation

En déduire les solutions dans de l'équation

 
 
Exercice 5
 
 

Résoudre dans l'équation
sachant que l'une des solutions est imaginaire pure.

 
   
Exercice 6
 
 
Résoudre dans l'équation
sachant que l'une des solutions est réelle.
Exercice 7
 
 

Linéariser les polynômes trigonométriques suivants :

Exercice 8
 
 

Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants :


Exercice 9
 
 
Exercice 10
 
  Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que les points d'affixes soient alignés
Exercice 11
 
 
Exercice 12
 
 
Exercice 13
 
 
Exercice 14
 
 
Exercice 15
 
 
Exercice 16
 
 

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les nombres complexes

voici un cours sur les nombres complexes pour les ptites revisions du sup et du deug

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Qu'est-ce qu'un nombre complexe???


Théorème : Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant :
  • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...).
  • Il existe un élément i de C tel que i2=-1.
  • Tout élément de C s'écrit de manière unique z=a+ib, avec a,b des réels.
C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.

Vocabulaire :
  • a s'appelle partie réelle de z, se note Re(z).
  • b s'appelle partie imaginaire de z, se note Im(z).
  • Si Re(z)=0, on dit que z est un imaginaire pur.
  • si z=a+ib, le nombre complexe a-ib s'appelle le conjugué de z.
  • z=a+ib s'appelle la forme cartésienne de z.

Opérations algébriques sur les nombres complexes
  La multiplication et l'addition sur C prolongent celles de R et vérifient les mêmes propriétés. En particulier :
  • (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')
  • (a+ib)×(a'+ib')=(aa'-bb')+i(a'b+ab')
  Tout nombre complexe non nul possède un inverse. Si z=a+ib, on a :
Il n'est en général pas question de retenir cette dernière formule, mais on la retrouve au "coup par coup" en utilisant le conjugué. Par exemple :
  Le passage au conjugué est compatible avec les opérations précédentes. Ainsi :


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Module d'un complexe


  On appelle module du nombre complexe z=a+ib le réel positif . Le module vérifie les propriétés suivantes :
  • |z|×z'|=|z|×|z'|.
  • |z+z'||z|+|z'| (inégalité triangulaire).
  • |z|=0 si et seulement si z=0.
  • Si z est réel, son module vaut sa valeur absolue.

Argument d'un nombre complexe
Théorème : Si z est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel tel que :
z=|z|cos()+isin().
De plus, est unique à 2pi près.
Tout nombre qui convient s'appelle un argument de z, noté arg(z).
Exemple : Déterminons un argument de 1+i :
L'argument vérifie les propriétés suivantes :

Exponentielle complexe
  Pour réel, on définit l'exponentielle complexe par :
Si z est un nombre complexe, et l'un de ses arguments, alors :
Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de z. En application des différentes formules sur le module et l'argument, on a :
  La forme trigonométrique des complexes est donc parfaitement adaptée quand il s'agit de traiter des exercices où interviennent de façon cruciale des produits.

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Racine carrée d'un nombre complexe


  Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On a deux méthodes pour résoudre z2=w :
  • Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup!
  • Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (cf infra).
Exemple :On souhaite résoudre z2=2+i. On pose z=x+iy. Nous avons :
où les constantes valent plus ou moins 1. La condition 2xy=1 nous permet d'affirmer que les solutions sont :

Equation du second degré
  Soit (E) l'équation az2+bz+c=0, d'inconnue z, où a,b,c sont des complexes, et a est non nul. Le discriminant de cette équation est :
  • Si le discriminant est nul, alors l'équation (E) admet une racine double : z=-b/2a.
  • Si le discriminant est non nul soit l'une des racines carrées (complexe) de ce discriminant. Alors (E) admet deux racines complexes :
Remarque : Ainsi, tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet une racine dans l'ensemble des nombres complexes. Plus généralement, le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine dans C.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
  Si w est un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe tel que zn=w.
Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes.
La méthode de recherche est la suivante :

  On appelle racine n-ième de l'unité les racines n-ièmes dans C du nombre complexe 1. Elles sont données par :
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est un groupe cyclique d'ordre n du groupe (C*,×). La racine wk engendre ce groupe si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.

Posté par achraf1879 à 15:59 - Commentaires [0] - Permalien [#]

Formule de Moivre


  Pour tout réel et tout entier n, alors
Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x).

Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons :
cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)3].
Développons en appliquant la formule du binôme :
(cos x+isin x)3=cos3x+3icos2x sin x -3xcos x sin2x-isin3x.
Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin2x=1-cos2 x :
cos(3x)=cos3 x-3cos x sin2x=4cos3 x-3cos x

Formule d'Euler
  Pour tout réel x,
Ces formules permettent de linéariser cosnx et sinnx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px).

Exemple :
où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.

Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse, par exemple pour obtenir une primitive de sin4 x...

Posté par achraf1879 à 15:58 - Commentaires [0] - Permalien [#]

Plan complexe


  Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le poin image de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé plan complexe.
Sur la figure précédente, les affixes respectives de A, B et C sont : 1+2i, -1, 2-i.

Propriétés liées au module, à l'argument, à la conjugaison
  • Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z.
  • Plus généralement, si A est d'affixe a, B d'affixe B, la longueur OA vaut |a-b|.
  • Si M est d'affixe z, alors on a :
  • Plus généralement, si A,B,C et D sont d'affixes respectives a,b,c et d, alors :
  • Si M est le point d'affixe z, alors :
    • le point d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe (Ox).
    • le point d'affixe -z est le symétrique de M par rapport à l'origine.
    • le point d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe (Oy).

Configurations géométriques
  • Condition d'alignement : A(a), B(b) et C(c) sont alignés ssi est réel.
  • Condition d'orthogonalité : les droites (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si est imaginaire pur.
  • Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
  • Triangle équilatéral : Les points A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral direct si, et seulement si : a+jb+j2c=0.
  • Barycentre : Si G est le barycentre des points Mk d'affixe zk, affectés des coefficients xk, alors l'affixe de G est :

Similitudes directes
Théorème et définition : Soient a et b deux nombres complexes, a non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe az+b. Alors :
  • Si a=1, f est la translation dont le vecteur est le vecteur d'affixe b.
  • Si a est différent de 1, f possède un unique point invariant I, d'affixe b/(b-a). f est alors la composée de la rotation r de centre I, et d'angle arg(a) et de l'homothétie de centre I et de rapport |a|.
    f s'appelle la similitude directe de centre I, de rapport |a|, et d'angle arg(a).
C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.

Posté par achraf1879 à 15:57 - Commentaires [0] - Permalien [#]