les mathematiques

Exercice 1 - Réponse
	RAPPEL On multiplie le numérateur et le dénominateur du nombre complexe par le nombre complexe conjugué du dénominateur, c'est-à-dire par
	Exercice 2 - Réponse
	RAPPEL Le module du nombre complexe est L'argument du nombre complexe z est il est défini à près par les relations
	Exercice 3 - Réponse
	Exercice 4 - Réponse
	on écrit l'égalité des parties réelles puis des parties imaginaires dans la relation (I) On écrit ensuite l'égalité des modules dans la relation (I) D'où les deux solutions On forme le discriminant On utilise l'une des deux solutions du début de l'exercice. Les racines sont: Ne pas oublier de vérifier la somme et le produit des racines La factorisation est
	Exercice 5 - Réponse
	Exercice 6 - Réponse
	Exercice 7 - Réponse
	En utilisant fes formules d'Euler
	Exercice 8 - Réponse
	Exercice 9 - Réponse
	RAPPEL
	Exercice 10 - Réponse
	Exercice 11 - Réponse
	Exercice 12 - Réponse
	RAPPEL
	Exercice 13 - Réponse
	Exercice 14 - Réponse
	Exercice 15 - Réponse
	Exercice 16 - Réponse

Exercice 1
	Ecrire sous la forme a+bi les nombres complexes suivants :

Exercice 2
	Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants : En déduire la forme exponentielle de ces nombres complexes

Exercice 3
	Trouver le module et l'argument du nombre complexe :

Exercice 4
	Résoudre dans l'équation En déduire les solutions dans de l'équation

Exercice 5
	Résoudre dans l'équation sachant que l'une des solutions est imaginaire pure.

Exercice 6
	Résoudre dans l'équation sachant que l'une des solutions est réelle.

Exercice 7
	Linéariser les polynômes trigonométriques suivants :

Exercice 8
	Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants :

Exercice 9

Exercice 10
	Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que les points d'affixes soient alignés

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

voici un cours sur les nombres complexes pour les ptites revisions du sup et du deug

Qu'est-ce qu'un nombre complexe???

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Théorème : Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant : C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...). Il existe un élément i de C tel que i2=-1. Tout élément de C s'écrit de manière unique z=a+ib, avec a,b des réels. C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.

Vocabulaire :

• a s'appelle partie réelle de z, se note Re(z).
• b s'appelle partie imaginaire de z, se note Im(z).
• Si Re(z)=0, on dit que z est un imaginaire pur.
• si z=a+ib, le nombre complexe a-ib s'appelle le conjugué de z.
• z=a+ib s'appelle la forme cartésienne de z.

Opérations algébriques sur les nombres complexes

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  La multiplication et l'addition sur C prolongent celles de R et vérifient les mêmes propriétés. En particulier :

• (a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')
• (a+ib)×(a'+ib')=(aa'-bb')+i(a'b+ab')

  Tout nombre complexe non nul possède un inverse. Si z=a+ib, on a : Il n'est en général pas question de retenir cette dernière formule, mais on la retrouve au "coup par coup" en utilisant le conjugué. Par exemple :   Le passage au conjugué est compatible avec les opérations précédentes. Ainsi :

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Module d'un complexe

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  On appelle module du nombre complexe z=a+ib le réel positif . Le module vérifie les propriétés suivantes :

• |z|×z'|=|z|×|z'|.
• |z+z'||z|+|z'| (inégalité triangulaire).
• |z|=0 si et seulement si z=0.
• Si z est réel, son module vaut sa valeur absolue.

Argument d'un nombre complexe

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Théorème : Si z est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel tel que : z=|z|cos()+isin().De plus, est unique à 2pi près.

Tout nombre qui convient s'appelle un argument de z, noté arg(z).
Exemple : Déterminons un argument de 1+i : L'argument vérifie les propriétés suivantes :

• 
• 
• 

Exponentielle complexe

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  Pour réel, on définit l'exponentielle complexe par : Si z est un nombre complexe, et l'un de ses arguments, alors : Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de z. En application des différentes formules sur le module et l'argument, on a :

• 
• 
• 

  La forme trigonométrique des complexes est donc parfaitement adaptée quand il s'agit de traiter des exercices où interviennent de façon cruciale des produits.

Racine carrée d'un nombre complexe

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  Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On a deux méthodes pour résoudre z²=w :

• Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients. Utiliser le module permet d'apporter une équation supplémentaire qui simplifie beaucoup!
• Utiliser la forme trigonométrique de w, si elle est facilement accessible. On raisonne alors comme pour les racines n-ièmes (cf infra).

Exemple :On souhaite résoudre z²=2+i. On pose z=x+iy. Nous avons : où les constantes valent plus ou moins 1. La condition 2xy=1 nous permet d'affirmer que les solutions sont :

Equation du second degré

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  Soit (E) l'équation az²+bz+c=0, d'inconnue z, où a,b,c sont des complexes, et a est non nul. Le discriminant de cette équation est :

• Si le discriminant est nul, alors l'équation (E) admet une racine double : z=-b/2a.
• Si le discriminant est non nul soit l'une des racines carrées (complexe) de ce discriminant. Alors (E) admet deux racines complexes :

Remarque : Ainsi, tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet une racine dans l'ensemble des nombres complexes. Plus généralement, le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine dans C.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul

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  Si w est un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ième de w tout nombre complexe tel que zⁿ=w.
Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes. La méthode de recherche est la suivante :
  On appelle racine n-ième de l'unité les racines n-ièmes dans C du nombre complexe 1. Elles sont données par : L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est un groupe cyclique d'ordre n du groupe (C^*,×). La racine w_k engendre ce groupe si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.

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Formule de Moivre

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  Pour tout réel et tout entier n, alors Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x).

Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons : cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)³].Développons en appliquant la formule du binôme : (cos x+isin x)³=cos³x+3icos²x sin x -3xcos x sin²x-isin³x.Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin²x=1-cos² x : cos(3x)=cos³ x-3cos x sin²x=4cos³ x-3cos x

Formule d'Euler

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  Pour tout réel x, Ces formules permettent de linéariser cosⁿx et sinⁿx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px).

Exemple : où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.

Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse, par exemple pour obtenir une primitive de sin⁴ x...

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Plan complexe

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  Soit P le plan muni d'un repère orthonormé direct. L'application qui à z=x+iy associe le point M de coordonnées (x;y) est une bijection de C sur P. On dit que M est le poin image de z, ou encore que z est l'affixe de M. Le plan P est alors appelé plan complexe. Sur la figure précédente, les affixes respectives de A, B et C sont : 1+2i, -1, 2-i.

Propriétés liées au module, à l'argument, à la conjugaison

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• Si M est le point d'affixe z, alors la longueur OM vaut le module de z.
• Plus généralement, si A est d'affixe a, B d'affixe B, la longueur OA vaut |a-b|.
• Si M est d'affixe z, alors on a :
• Plus généralement, si A,B,C et D sont d'affixes respectives a,b,c et d, alors :
• Si M est le point d'affixe z, alors :
  • le point d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe (Ox).
  • le point d'affixe -z est le symétrique de M par rapport à l'origine.
  • le point d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe (Oy).

Configurations géométriques

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• Condition d'alignement : A(a), B(b) et C(c) sont alignés ssi est réel.
• Condition d'orthogonalité : les droites (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si est imaginaire pur.
• Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
• Triangle équilatéral : Les points A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral direct si, et seulement si : a+jb+j²c=0.
• Barycentre : Si G est le barycentre des points M_k d'affixe z_k, affectés des coefficients x_k, alors l'affixe de G est :

Similitudes directes

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Théorème et définition : Soient a et b deux nombres complexes, a non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe az+b. Alors : Si a=1, f est la translation dont le vecteur est le vecteur d'affixe b. Si a est différent de 1, f possède un unique point invariant I, d'affixe b/(b-a). f est alors la composée de la rotation r de centre I, et d'angle arg(a) et de l'homothétie de centre I et de rapport |a|. f s'appelle la similitude directe de centre I, de rapport |a|, et d'angle arg(a). C s'appelle l'ensemble des nombres complexes.