Formule de Moivre Pour tout réel et tout entier

Formule de Moivre

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  Pour tout réel et tout entier n, alors Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x).
Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons : cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)³].Développons en appliquant la formule du binôme : (cos x+isin x)³=cos³x+3icos²x sin x -3xcos x sin²x-isin³x.Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin²x=1-cos² x : cos(3x)=cos³ x-3cos x sin²x=4cos³ x-3cos x
Formule d'Euler

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  Pour tout réel x, Ces formules permettent de linéariser cosⁿx et sinⁿx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px).
Exemple : où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.
Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse, par exemple pour obtenir une primitive de sin⁴ x...

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