10 mars 2005

Formule de Moivre


  Pour tout réel et tout entier n, alors
Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x).

Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons :
cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)3].
Développons en appliquant la formule du binôme :
(cos x+isin x)3=cos3x+3icos2x sin x -3xcos x sin2x-isin3x.
Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin2x=1-cos2 x :
cos(3x)=cos3 x-3cos x sin2x=4cos3 x-3cos x

Formule d'Euler
  Pour tout réel x,
Ces formules permettent de linéariser cosnx et sinnx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px).

Exemple :
où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.

Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse, par exemple pour obtenir une primitive de sin4 x...

Posté par achraf1879 à 15:58 - Commentaires [0] - Permalien [#]


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